Mathematics

1) Equazioni del prim’ordine

• Il metodo delle caratteristiche

Equazione di Hamilton-Jacobi

• Non esistenza di soluzioni lisce
• Formula di Hopf-Lax e commenti sulla corretta nozione di soluzione

Leggi di conservazione 

• Non esistenza di soluzioni lisce e non unicità di soluzioni distribuzionali
• Formula di Lax-Oleinik e commenti sulla corretta nozione di soluzione

2) Equazioni ellittiche

• Equazione di Laplace e funzioni armoniche
• Proprietà delle funzioni armoniche: proprietà della media, regolarità, principi del massimo, disuguaglianza di Harnack
• Il problema dell’esistenza: approccio variazionale e di Perron

Equazioni ellittiche generiche

• Spazi di Sobolev
• Formulazione debole ed unicità
• Esistenza: il teorema di Lax-Milgram e l’alternativa di Fredholm — la questione della regolarità: stime all’interno e al bordo
• Principi del massimo e disuguaglianza di Harnack

3) Equazioni paraboliche:

•  formulazione debole ed unicità
• esistenza: il metodo di Galerkin
• principi del massimo e disuguaglianza di Harnack
• cenni di teoria dei semigruppi: il teorema di Hille-Yosida