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Introduction to PDEs

Lecturer: 
Nicola Gigli
Course Type: 
PhD Course
Academic Year: 
2016-2017
Period: 
October-January
Duration: 
50 h
Description: 

1) Equazioni del prim’ordine

  • Il metodo delle caratteristiche

Equazione di Hamilton-Jacobi

  • Non esistenza di soluzioni lisce
  • Formula di Hopf-Lax e commenti sulla corretta nozione di soluzione

Leggi di conservazione 

  • Non esistenza di soluzioni lisce e non unicità di soluzioni distribuzionali
  • Formula di Lax-Oleinik e commenti sulla corretta nozione di soluzione

2) Equazioni ellittiche

  • Equazione di Laplace e funzioni armoniche
  • Proprietà delle funzioni armoniche: proprietà della media, regolarità, principi del massimo, disuguaglianza di Harnack
  • Il problema dell’esistenza: approccio variazionale e di Perron

Equazioni ellittiche generiche

  • Spazi di Sobolev
  • Formulazione debole ed unicità
  • Esistenza: il teorema di Lax-Milgram e l’alternativa di Fredholm — la questione della regolarità: stime all’interno e al bordo
  • Principi del massimo e disuguaglianza di Harnack

3) Equazioni paraboliche:

  •  formulazione debole ed unicità
  • esistenza: il metodo di Galerkin
  • principi del massimo e disuguaglianza di Harnack
  • cenni di teoria dei semigruppi: il teorema di Hille-Yosida 
Location: 
A-134

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